《对弧长的曲线积分及其计算方法》内容小结、题型与典型题
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一、对弧长的曲线积分的几何意义与物理意义
1、构建对弧长的曲线积分的模型
对弧长的曲线积分即在微元弧微分ds分布的曲线上求分布的部分量的和。
比如，小段ds的质量近似量，即为ds上一点(x,y,z)的线密度与弧长的乘积，总的曲线型构建的质量M即为ds分布的曲线Γ上求和，从而得到对弧长的曲线积分模型描述形式为
【注】对弧长的曲线积分具有与二重积分(平面曲线上的积分)与三重积分(空间曲线)相类似的积分性质，包括偶倍奇零的计算性质和轮换对称性。
2、对弧长的曲线积分的几何意义
(2) 当f(x,y)≥0时，表示以xOy面上的曲线L为准线，母线平行于z轴，顶部为(x,y,f(x,y))点构成的曲线（即高为z= f(x,y)）的柱面片的面积。
3、对弧长的曲线积分的物理意义
【注】根据被积函数描述的实际意义不同，具有不同的实际意义.
二、对弧长的曲线积分的计算方法
不管是空间曲线还是平面曲线，曲线积分的计算公式可以统一描述为
1．积分曲线为平面曲线的情形
● 当C:y=y(x), a≤x≤b时，则r=r(x)=(x,f(x))，a≤x≤b，有
当C:x=x(x),y=y(t),z=z(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))，a≤t≤b，有
【注】|r’(t)|dt即为弧微分ds，弧长大于0，所以以上的定积分计算式中一定有积分下限小于积分上限。
三、对弧长的曲线积分物理应用建模思路
借助于积分模型构建的元素法和具体步骤，即：
分割取近似，作和求极限
容易得到曲线型物件关于质心、转动惯量与引力的计算模型：
●对于平面曲线，只要将二重积分中相应的模型中的积分符号换成一个，积分区域D换成积分曲线L，面积微元dσ换成弧微分ds即可；
●对于空间曲线，只要将三重积分中相应的模型中的积分符号换成一个，积分区域Ω换成积分曲线Γ，体积微元dV换成弧微分ds即可。
四、对弧长的曲线积分的一般计算思路与步骤
关于对弧长的曲线积分，不管积分曲线是平面曲线还是积分曲线，其基本计算方法可以统一归结如下几个步骤：
第一步：被积函数定义在积分曲线上，可以借助描述积分曲线的等式简化，转换积分模型
第二步：考察积分曲线的对称性（平面曲线关于坐标轴、空间曲线关于坐标面，轮换对称性），借助“偶倍奇零”和轮换被积函数变量简化、转换积分模型，简化积分计算. 平面曲线上对弧长的曲线积分性质与二重积分一样；空间曲线上对弧长的曲线积分计算性质与三重积分一样.
【注】第一步、第二步没有绝对先后顺序.
第三步：写出积分曲线的参数方程，并写出相应的参变量取值范围
如积分曲线直接由参数方程给出：
(1)积分曲线L由参数方程L:x=x(x),y=y(t), t∈[a,b]确定，此步忽略；
(2)当积分曲线由L:y=y(x), x∈[a,b]确定，则其参数方程可写成
x=t,y=y(t), t∈[a,b]；
(3)当积分曲线由极坐标方程L:ρ=ρ(θ), θ∈[α,β]确定，或者曲线用极坐标描述比较简单时，可以从直角坐标方程转换为极坐标方程描述，则相应的参数方程可以写作
x=ρ(θ)cosθ, y=ρ(θ)sinθ, θ∈[α,β]
(4)空间曲线的参数方程：
Γ:x=x(x),y=y(t), z=z(t),a≤t≤b, t∈[a,b]，
确定。它一般由实际意义直接构建，或者由空间曲线的一般方程转换描述形式得到。
第四步：将弧微分写成参变量微分表达式
如果将积分曲线的参数方程用向量值函数r=r(t)表示，则弧微分ds统一可以表示为ds=|r’(t)|dt，其中r’(t)表示的是参数方程的两个或三个参数表达式，关于参变量的导数构成的向量的模。即有
第五步：将参数表达式和弧微分直接代入被积表达式，以参变量的取值范围的左端点为积分下限，以右端点为积分上限，将对弧长的曲线积分写出定积分表达式
(1) 积分曲线为平面曲线为L: x=x(x),y=y(t), t∈[a,b]时，则有
(2)积分曲线为平面曲线为Γ:x=x(x),y=y(t), z=z(t),t∈[a,b]时，有
第六步：利用定积分的计算方法计算定积分
【注】如果积分曲线是由分段光滑的曲线构成，并且不能用一个统一的参数方程来描述的话，则要对积分曲线进行分段，如L=L1+L2，对于每一段使用以上的计算方法进行计算，然后基于积分对积分曲线段的可加性，有
参考课件节选：
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